삼각 푸리에 급수

푸리에 급수랑 변환을 난 계속해서 보고 있다. 저기 아래 글에서는 이해하고 그래프를 그렸는데 변환에서 좀 이해를 제대로 못해서 다시금 제대로 처음부터 공부를 하기로 마음먹었다. 이유는? 궁금해서 그리고 이 정도는 이해를 해주어야 한다. 보통 학부2-3학년에서 배우는 과정이 아니란 말인가.ㅠ.ㅠ
암튼

주기가 T인 함수 f(t)를 삼각 함수의 급수로 표현하고 있는 삼각푸리에 급수에서 중요한 것은 아래와 같은 집합에 있는 각 함수의 요소를 사용하고 그 사용한 함수의 계수를 구해야 하는 것이다.
{1, coswt, sinwt, cos2wt, sin2wt, ....cosnwt, sinnwt,....}
그리고 삼각함수의 급수로 표현한 형태는 아래와 같다(워드 수식편집기 쓰기 어려워서 한글에서 대신 썻다.ㅠ.ㅠ)

a0 값을 1/2a0라고 표현하는것도 있지만 저렇게 써도 큰 상관 없으리.
위의 함수 집합은 직교성(Orthogonal)을 형성하고 있다. 즉, 서로 곱한 다음 1주기에 걸쳐서 적분을 해주면 0 이 나온다. 아래와 같은 기본적인 연산의 성질을 이용한다면 계수를 구하는 수식을 이해하기가 훨씬 편해지는 것 같다. 물론 직교성에 기반한다면 당연한 결과이겠지만 말이야.

그 다음 계수를 구하는 방법은 a0항은 f(t)의 양변을  구간[-T/2, T/2]로 적분하면 구할 수 있고, an, bn은 f(t)의 양변에 cos항과 sin항을 따로 곱한 다음 다시금 같은 구간에 걸쳐 적분을 해주면 된다. 결과값은 아래와 같다.

p.s 복소 푸리에 급수는 오일러의 공식을 이용하여 복소수 형태로 표현할 수 있다. 전체식을 한글 수식기에서 입력하다가 gg쳤다.
다음 그림은 위키피디아의 그림이다. 결국 같은 이야기를 하고 있는거다.